Chapter 2.B Bases 基
上一节中，我们讨论了线性无关组和张成向量空间组以及一些引论，现在将它们合并在一起组成一个新的的概念————基。
2.27 Definition basis 基的定义
A basis of V is a list of vectors in V that is linearly independent and spans V .
eg2.28
2.29 Criterion for basis 基的标准
A list v₁,...,vₙ of vectors in V is a basis of V if and only if every v ∈ V can be written uniquely in the form
2.30
v = a₁v₁+···+aₙvₙ
where a₁,...,aₙ ∈ F.
为了证明这个标准，我们需要双向推导。
证明如下：
首先是从线性无关到唯一性，假设v₁,...,vₙ是 V 的一组基，并让v ∈ V 。因为v₁,...,vₙ张成 V ，所以有：
为了表示唯一性，我们假设有另一组系数：
两式相减，可得：
这表明了每个aⱼ-cⱼ都是为0的(因为线性无关)，也就说明每个aⱼ=cⱼ，这也就说明了唯一性。
然后是唯一性到线性无关，我们先假设每一个v ∈ V 都可以被写成2.30这种形式：
显然这说明v₁,...,vₙ张成 V 。为了证明线性无关，我们假设a₁,...,aₙ ∈ F满足以下式子：
因为唯一性，我们可以从2.30这个式子中得到a₁ =···= aₙ = 0。由此线性无关得证。
向量空间的一个张成组可能并不是这个空间的一组基，因为它可能不满足线性无关。接下来的推论说明了给定任意一个张成组中的其中一些向量(也可能没有)可以被去除从而保证线性无关，同时张成的向量空间不会改变。
2.31 Spanning list contains a basis 张成组包含一组基
Every spanning list in a vector space can be reduced to a basis of the vector space.
证明如下：假设v₁,...,vₙ张成 V ，我们想要去除某些向量从而让它变成 V 的一组基，可以从多部证明开始：
首先让 B 等同 v₁,...,vₙ
Step 1:
如果v₁ = 0，从 B 中删去它。如果v₁ ≠ 0，保持 B 不变。
Step j:
如果vⱼ在span(v₁,...,vⱼ₋₁)中，就从 B 中删去它。相反，那就保持 B 不变。
在进行一定步后，我们得到了最终的 B ，由于我们一开始的假设，这个 B 能够张成 V ，同时我们去除了一些合适的向量，这些向量能够被它之前的向量通过线性组合表示出来。通过2.21能确保 B 是线性无关的。因此 B 是 V 的一组基。
下面是基于上面的一个简单推论，这个推论告诉了我们每一个有限维的向量空间都有一组基。
2.32 Basis of finite-dimensional vector space 有限维向量空间的基
Every finite-dimensional vector space has a basis.
这个推论的证明非常简单，2.31已经告诉我们每个张成组都能够被简化为一组基，自然而然也就证明了这点。
下面的一个推论在某种意义上是2.31的另一面。给了一个线性无关组，我们同样可以扩充它，来保证它依然是线性无关的但是也张成了一个空间。
2.33 Linearly independent list extends to a basis 线性无关组扩充为一组基
Every linearly independent list of vectors in a finite-dimensional vector space can be extended to a basis of the vector space.
证明如下：
我们假设u₁,..,uₘ在一个有限维向量空间 V 上是线性无关的，同时让w₁,...,wₘ成为 V 的一组基。因此得到一组新的向量：
也能张成 V 。通过和2.31证明相同的步骤来去除这组向量中的元素来让它成为 V 的一组基，这会得到一组包含u₁,..,uₘ(所有的u都不会被删除，因为u₁,...,uₘ是线性无关的)和一些w的向量组。由此得证。
2.34 Every subspace of V is part of direct sum equal to V 每个V的子空间都是等于V的直和的一部分
Suppose V is finite-dimensional and U is a subspace of V . Then there is a subspace W of V such that V = U ⊕ W .
证明如下：
因为 V 是有限维的，所以 U 也是。接下来取 U 中的一组基u₁,...,uₘ，显然这组基在 V 中是线性无关的。因此这组基可以扩充为u₁,...,uₘ,w₁,...,wₘ，同时令 W = span(w₁,..,wₘ)。
要证明 V = U ⊕ W ，只需证明 V = U + W 的同时 U ∩ W = {0}。
要证明第一个等式，先假设v ∈ V 。由于上面的一组基张成 V ，所以存在两组属于F的系数满足：
也就是说，v = u+w。所以v ∈ U + W ,因此 V = U + W 得证。
要证明第二个等式，先假设v ∈ U ∩ W ，这里依然存在两组系数满足：
因此有：
由于两个向量组是线性无关的，所以这说明a₁ =···= aₘ = b₁ =···= bₘ = 0。也就说明v = 0，等式二得证。