Chapter 2.A Span and Linear Independence 张和线性无关
这一节定义了有关线性的和有限维向量空间的一些新概念，并且讨论了其中的一些性质。
之前我们定义了列表的概念，当时定义的是用括号括起来的n个元素有序地排列的聚合，这里的元素是数字，列表或者其他抽象的字符。而为了避免混淆，包含向量的列表将不会在左右两遍进行括号，例如：(4，1，6)，(9，5，7)这个列表就是长度为2的一个列表。
2.2 Notation list of vectors 符号 向量列表
We will usually write lists of vectors without surrounding parentheses.
Linear Combinations and Span 线性组合和张
2.3 Definition linear combination 线性组合的定义
A linear combination of a list v₁,...,vₘ of vectors in V is a vector of the form
a₁v₁+···+aₘvₘ,
where a₁,...,aₘ ∈ F .
eg2.4
2.5 Definition span 张的定义
The set of all linear combinations of a list of vectors v₁,...,vₘ in V is called the span of v₁,...,vₘ, denoted span(v₁,...,vₘ). In other words,
span(v₁,...,vₘ) = {a₁v₁+···+aₘvₘ:a₁,...,aₘ ∈ F }.
The span of the empty list () is defined to be {0}.
这里说明张其实就是线性组合的结果，一组向量通过线性组合就可以张成一个空间，eg2.6。
2.7 Span is the smallest containing subspace 张是最小的包含子空间
The span of a list of vectors in V is the smallest subspace of V containing all the vectors in the list.
这里的证明和1.C节中和是最小的包含子空间的证明非常类似。要证明子空间，通过0 = 0v₁+···+0vₘ；(a₁v₁+···+aₘvₘ)+(c₁v₁+···+cₘvₘ) = (a₁+c₁)v₁+···+（aₘ+cₘ）vₘ；λ(a₁v₁+···+aₘvₘ) = λa₁v₁+···+λaₘvₘ 可分别证得加法元、加法封闭和乘法封闭，因此子空间证得。
要证明包含，通过令aⱼ以外的a's都为0，可得vⱼ是v₁,...,vₘ的线性组合，所以span(v₁,...,vₘ)包含vⱼ，因此包含证得。
要证明最小，因为子空间加法和乘法封闭， V 的每个包含vⱼ的子空间都包含span(v₁,...,vₘ)，因此最小证得。
2.8 Definition spans 张的定义
If span(v₁,...,vₘ) equals V , we say that v₁,...,vₘ spans V .
eg2.9
2.10 Definition finite-dimensional vector space 有限维的向量空间
A vector space is called finite-dimensional if some list of vectors in it spans the space.
此处值得注意的是，“some”这个词不是“一些”的意思，而是“至少有一个”，也就是“存在”的意思，这也是为什么“list”没有加s，这与下文无限维的向量空间的描述是相对的。
2.11 Definition polynomial,P(F) 多项式，P(F)
- A funtion p:F → F is called polynomial with coefficients in F is there exists a₁,...,aₘ ∈ F such that
p(z) = a₀+a₁z+a₂z²+···+aₘzᵐ
for all z ∈ F.- P(F) is the set of all polynomials with coerfficients in F.
需要强调的是，这里的多项式指的是多项式函数，因为z是属于F的。显然，P(F)也是F上的一个向量空间。
2.12 Definition degree of a polynomial,deg p 多项式的次，deg p
- A polynomial p ∈ P(F) is said to have degree m if there exist scalars a₀,a₁,...,aₘ ∈ F with aₘ ≠ 0 such that
p(z) = a₀+a₁z+a₂z²+···+aₘzᵐ
for all z ∈ F. If p has degree m, we write deg p = m.- The polynomial that is identically 0 is said to have degree -∞.
2.13 Definition Pₘ(F)
For m a nonnegative integer, Pₘ(F) denotes the set of all polynomials with coefficients in F and degree at most m.
这里有一些些许的符号滥用，我们需要在这里把zᵐ理解为从z到zᵐ上的一个映射。eg2.14
2.15 Definition infinite-dimensional vector space 无限维向量空间的定义
A vector space is called infinite-dimensional if it is not finite-dimensional.
按照我们对有限维向量空间的定义，无限维的向量空间就是指不存在一个向量组能够长成的一个空间，eg2.16。
Linear Independence 线性无关
如果考虑这样一种情况：v₁,...,vₘ ∈ V ，v ∈ span(v₁,...,vₘ)通过张的定义，我们假设有
首先我们考虑一下系数a的选择是不是唯一的，再假设有
通过两式相减可得
显然，只有当aⱼ=cⱼ时，这样系数的选择才是唯一的，这种情况非常重要，所以我们给它取了一个特别的名字——线性无关。
2.17 Definition linearly independent 线性无关的定义
- A list v₁,...,vₘ of vectors in V is called linearly independent if the only choice of a₀,a₁,...,aₘ ∈ F that makes a₁v₁+···+aₘvₘ equal 0 is a₁ = ··· = ···= aₘ = 0.
- The empty list() is also declared to be linearly independent.
上面的推论说明如果v₁,...,vₘ要线性无关，那么只有一种线性组合的方式，也就是系数都为0，eg2.18。
2.19 Definition linearly dependent 线性相关的定义
- A list of vectors in V is called linearly dependent if it is not linearly independent.
- In other words, a list v₁,...,vₘ of vectors in V is linearly dependent if there exist a₁,...,aₘ ∈ F, not all 0, such that a₁v₁+···+aₘvₘ = 0.
上面的推论说明如果v₁,...,vₘ要线性相关，那么就不止一种线性组合的方式使得结果为0，eg2.20。
接下来会介绍一个引论，这个引论可以让我们把一组向量中的一些向量给去掉而不改变它线性组合所张成的空间。
2.21 Linear Dependence Lemma 线性相关引论
Suppose v₁,...,vₘ is a linearly dependent list in V . Then there exists j ∈ {1,2,...,m} such that the following hold:
(a) vⱼ ∈ span(v₁,...,vⱼ₋₁)；
(b) if the jᵗʰ term is removed from v₁,...,vₘ, the span of the remaining list equals span(v₁,...,vₘ).
这里点(a)保证了vⱼ本身是属于除掉它过后的那个向量组所张成的向量空间的，点(b)保证了去掉vⱼ后的那个向量组所张成的向量空间与原向量空间不变，pf2.22。
这里的证明是这样的：
要证明点(a)，我们先假设v₁,...,vₘ是线性相关的，并让j成为最大的那个使得aⱼ不为0的那个元素，例如：0 = 1a₁+0a₂+3a₃+0a₄，那么j就为3。那么我们就可以得出：
这说明了vⱼ是v₁,...,vⱼ₋₁的线性组合，也就证明了点(a)。
要证明点(b)，我们将span(v₁,...,vⱼ,...,vₘ)中的vⱼ替换成上面的式子，就可以得出：
可以看到，因为vⱼ是v₁,...,vⱼ₋₁的线性组合，而span中本身就包含有v₁,...,vⱼ₋₁的线性组合，所以vⱼ实际上是重复的，所以是可以去除的，点(b)得证。
2.23 Length of linearly independent list ≤ length of spanning list 线性无关列表的长度小于张成列表的长度
In a finite-dimensional vector space, the length of every linearly independent list of vectors is less than or equal to the length of every spanning list of vectors.
这句话用数学语言表达的话就是有 V = span(w₁,...,wₙ)和线性无关组u₁,...,uₘ，这两个向量组都属于 V ，那么m≤n。
这里的证明需要用到一步一步叠加这种证法，证明如下：
Step 1:
我们先考虑这样一个张成空间 V 的向量组：w₁,...,wₙ，其中加上任何一个向量都可以得到一个线性相关组(因为新加入的向量可以用其他向量的线性组合表示)，然后，我们考虑一个特别的线性相关组：
通过引论2.21，我们可以把其中的一个w也就是wⱼ₁删掉，这里不能删除u₁的原因是因为如果删去u₁，那么j-1就等于0了，这种情况是我们不想要的。
Step 2:
接下来我们继续这样操作得到：
这里依旧是删去一个w，即wⱼ₂，不能删除u₁的原因之前已经说过了，但是u₂并不像u₁一样j-1 = 0，要明白这点，我们需要看2.21的点(a)，点(a)说明了要去除u₂的必须满足vⱼ ∈ span(v₁,...,vⱼ₋₁)，即u₂ ∈ span(u₁)，但我们的条件是说u₁,...,uₘ是线性无关的，这两点相矛盾了，所以u₂不能去掉。
之后的步骤都非常类似，直到第m步之后，所有的u都被添加进去了，得到
由引论2.21可知，这里至少还能删去一个元素，但是所有的u都不能删除，所以这个向量组中至少有和u的数量一样多的w，即m≤n，证毕，eg2.24，eg2.25。
接下来考虑子空间。按照我们直觉来说，有限维向量空间的每个子空间也应该是有限的，接下来会证明这个结论。
2.26 Finite-dimensional subspaces 有限维的子空间
Every subspace of a finite-dimensional vector space is finite-dimensional.
证明如下：
先假设 V 是一个有限维的向量空间，并且 U 是它的一个子空间，要证明 U 是 V 的子空间，我们同样使用多步证明的方法。
Step 1:
如果 U = {0}，那么 U 显而易见是一个有限维的向量空间。如果 U ≠ {0}，那么选择任意一个非零向量v₁ ∈ U 。
Step j:
如果 U = span(v₁,...,vⱼ₋₁)，那么 U 就是一个有限维的向量空间。如果 U ≠ span(v₁,...,vⱼ₋₁)，那么继续选择一个向量vⱼ ∈ U 满足：
在很多步过后，只要这个过程一直持续，那么我们就建立了一个满足这个向量组中的任意一个向量都不在之前向量组所张成的空间中的向量组。因此我们建立了一个线性无关的向量组，通过2.23，我们能知道线性无关组的长度总是小于张成空间的向量组的长度，因此这个过程一定会结束，也就证明了 U 是一个有限维的向量空间。